正方形判定定理的证明（关于共顶点正方形的定理-芬斯勒.哈德维格尔定理）
如下图正方形ABCD与正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD与正方形AEFG中点为K、N，连接BE、DG，取中点O、M则四边形OKMN是正方形。
芬斯勒.哈德维格尔定理
证明：第一步，连接DE、BG，因为AB=AD、AE=AG
∠BAG=∠BAD+∠DAG
∠DAE=∠DAG+∠GAE，
又因为有∠BAD=∠GAE，所以∠BAG=∠DAE，所以△BAG≌△DAE，则BG=DE。
第二步，因为MNKO都为中点，所以MN是△DGE的中位线，所以MN//DE，且MN=DE/2，同理KO是△DEB的中位线，所以KO//DE，且KO=DE/2，所以KO//MN且KO=MN。
第三步，同理可得KM//ON//GB，且KM=ON=GB/2，所以KM=MN，所以四边形KMNO是菱形(对边互相平行且邻边相等)。
第四步，在RT△ABP中
∠ABP+∠APB=90°
在△PDQ中∠PDQ=∠ABP，所以
∠PDQ+∠DPQ=∠ABP+∠APB=90°，所以∠PQD=90°，BQ⊥DE，所以KM⊥MN所以四边形KMNO是正方形(邻边垂直的菱形是正方形)。
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